已知函數(shù)的定義域為，對于任意的，都有，且當(dāng)時，，若.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證:是上的減函數(shù)；

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

 

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù) 奇偶性和單調(diào)性的綜合運用。

（1）運用賦值法得到關(guān)于f(x),f(-x)的關(guān)系式，進而得到證明。

（2）任取且,

則

又，，得到結(jié)論。

（3）

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，進而分析得知。

(1)證明：的定義域為,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數(shù).   4分

（2）證明：任取且,

則

又，，，

即

故是上的減函數(shù).        8分

（3）解:

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),

所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為；

當(dāng)時，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.      12分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為（0，+∞），且單調(diào)遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為R，對任意的x1，x2都滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對所有的θ∈[0，
π2
]均成立，求實數(shù)m 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年浙江省杭州市七校高三上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的定義域為，

（1）求；

（2）若，且是的真子集，求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆遼寧朝陽高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為,部分對應(yīng)值如下表。的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示。

0

下列關(guān)于函數(shù)的命題：

①函數(shù)在上是減函數(shù)；②如果當(dāng)時，最大值是，那么的最大值為；③函數(shù)有個零點，則；④已知是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，則的最大值為。

其中真命題的個數(shù)是（           ）

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年海南省�？谑懈呷呖颊{(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為，且，為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示.若正數(shù),滿足,則的取值范圍是

    A．    B．  C．    D．

 

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