Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為平行四邊形，AD=A₁A=

1

2

AB，點E為棱AB上的點，A₁D⊥D₁E．
（Ⅰ）若點F為線段D₁E上的點，求證：A₁D⊥AF；
（Ⅱ）設AD=1，若二面角D₁-EC-D的大小為45°，求點B到平面D₁EC的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結AD₁，由已知條件推導出AD₁⊥A₁D，A₁D⊥D₁E，從而得到A₁D⊥平面AED₁，由此能夠證明A₁D⊥AF．
（Ⅱ）分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B到平面D₁EC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連結AD₁，由已知得AA₁D₁D是下方形，
∴AD₁⊥A₁D，
∵A₁D⊥D₁E，AD₁∩D₁E=D₁，
∴A₁D⊥平面AED₁，
∵AF?平面AED₁，
∴A₁D⊥AF．
（Ⅱ）解：如圖，由（Ⅰ）知，底面ABCD為矩形，
分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
由題意知

m

=（0，0，1）為平面DEC的法向量，
設

n

=（x，y，z）為平面CED₁的法向量，
∵二面角D₁-EC-D的大小為45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，
∴z²=x²+y²，①
∵AD=1，∴D1 （0，9，1），C（0，2，0），∴

D1C

=(0，2，-1)，
∵

n

⊥

D1C

，∴2y-z=0，②
由①②可取

n

=（

3

，1，2），
又

CB

=(1，0，0)，
∴點B到平面D₁EC的距離d=

| CB • n |

| n |

=

3

2 2

=

6

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．