分析:(解法一)(I)由題意知,A
1D是PD在平面A
1ADD
1內(nèi)的射影,再由三垂線定理證明
(II)取D
1C
1中點M,連接PM,證明∠PCM為所求角,在Rt△PCM中求解;
(III)由D
1D∥C
1C得 C
1C∥平面D
1DP,所求的距離轉(zhuǎn)化到點C
1到平面D
1DP的距離相等,
再由D
1D⊥平面A
1B
1C
1D
1得平面D
1DP⊥平面A
1B
1C
1D
1,過點C
1作交線的垂線C
1H,在三
角形中求解.
(解法二)由題意以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz,求出點的坐標.
(I)設P的坐標,求數(shù)量積
•=0,證明垂直;
(II)求平面D
1DCC
1的法向量,利用數(shù)量的定義求兩向量所成角的余弦值,即為所求的值;
(III)先求平面D
1DP的法向量
,再用向量法求點C到平面D
1DP的距離.
解答:解法一:(I)證明:連接A
1D,在正方體AC
1中,
∵A
1B
1⊥平面A
1ADD
1,∴A
1D是PD在平面A
1ADD
1內(nèi)的射影.(2分)
在正方形A
1ADD
1中,A
1D⊥AD
1,PD⊥AD
1.(4分)
解:(II)取D
1C
1中點M,連接PM,CM,則PM∥A
1D
1.
∵A
1D
1⊥平面D
1DCC
1,∴PM⊥平面D
1DCC
1.
∴CM為CP在平面D
1DCC
1內(nèi)的射影.
則∠PCM為CP與平面D
1DCC
1所成的角.(7分)
在Rt△PCM中,
sinPCM====.∴CP與平面D
1DCC
1所成的角的正弦值為
.(9分)
(III)在正方體AC
1中,D
1D∥C
1C.
∵C
1C?平面D
1DP內(nèi),D
1D?平面D
1DP,∴C
1C∥平面D
1DP.
∴點C到平面D
1DP的距離與點C
1到平面D
1DP的距離相等.
∵D
1D⊥平面A
1B
1C
1D
1,DD
1?面D
1DP,
∴平面D
1DP⊥平面A
1B
1C
1D
1.
又∵平面D
1DP∩平面A
1B
1C
1D
1=D
1P,
過C
1作C
1H⊥D
1P于H,∴C
1H⊥平面D
1DP.
∴C
1H的長為點C
1到平面D
1DP的距離.(12分)
連接C
1P,并在D
1C
1上取點Q,使PQ∥B
1C
1.
在△D
1PC
1中,C
1H•D
1P=PQ•D
1C
1,得
C1H=.
∴點C到平面D
1DP的距離為
.(14分)
解法二:如圖,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz.
由題設知正方體棱長為4,則D(0,0,0)、A(4,0,0)、B
1(4,4,4)、
A
1(4,0,4)、D
1(0,0,4)、C(0,4,0).(1分)
(I)設P(4,y
0,4),∴
=(4,y0,4).
=(-4,0,4)(3分)
∵
•=-16+16=0,
∴PD⊥AD
1.(4分)
(II)由題設可得,P(4,2,4),
故
=(4,-2,4).∵AD⊥面D
1DCC
1,
∴
=(4,0,0)是平面D
1DCC
1的法向量.(7分)
∴
cos<,>==.(8分)
∴CP與平面D
1DCC
1所成角的正弦值為
.(9分)
(III)∵
=(0,4,0),設平面D
1DP的法向量n=(x,y,z),
∵P(4,3,4)
∴
=(0,0,4),=(4,3,4).
則
,即
令x=-3,則y=4.
∴n=(-3,4,0).(12分)
∴點C到平面D
1DP的距離為
d==.(14分)
點評:本題為一題多解的情況,一種是向量法,需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系,向量的數(shù)量積來證垂直,求平面的法向量來求線面角的正弦值和點到平面的距離;另一種用垂直關(guān)系的定義和定理,三垂線定理來證明垂直,利用線面垂直作出線面角及點到平面的垂線,在直角三角形中求解.向量法簡單.