Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，AB=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{1}{2}$EC，AD=2DC．
（1）證明：DE⊥平面PAE；
（2）求二面角A-PE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出E的坐標，由此利用向量法能證明DE⊥平面PAE．
（2）求出平面PAE的法向量和平面PEB的法向量，利用向量法能求出二面角A-PE-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，
∴以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB⊥AC，PA=AC=3，AB=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{1}{2}$EC，AD=2DC．
∴D（0，2，0），設B（$\frac{3}{2}$，0，0），C（0，3，0），
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$，1，0），∴E（1，1，0），E（1，1，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AE}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AE}$=0，
∴DE⊥AP，DE⊥AE，
又AP∩AE=A，∴DE⊥平面PAE．
解：（2）$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}$，0，3），$\overrightarrow{BE}=（-\frac{1}{2}，1，0）$，
設平面PAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設平面PEB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\frac{3}{2}a+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，1），
設二面角A-PE-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴二面角A-PE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．