已知雙曲線(xiàn)H:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0),且H的離心率e=
5
2

(1)求H的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與H相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),過(guò)A作AC垂直于x軸,垂足為C.連接BC與H交于點(diǎn)D,記直線(xiàn)AB,AD的斜率分別為k1、k2.求證:k1+k2
3
2
分析:(1)由頂點(diǎn)為(2,0),可得a=2;由雙曲線(xiàn)的離心率計(jì)算公式e=
c
a
=
5
2
,即可得到c,再利用b2=c2-a2即可得到b,進(jìn)而得到方程.
(2)設(shè)A(m,n),由題意可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可得B(-m,-n),C(m,0),得到BC的方程為x=
2m
n
y+m
.由A在雙曲線(xiàn)上,可得
m2
4
-n2=1
,即m2=4(n2+1).
把BC的方程x=
2m
n
y+m
代入雙曲線(xiàn)方程,整理可得(3n2+4)y2+(4n3+4n)y+n4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到y(tǒng)D,從而得到xD,即可得到直線(xiàn)AD的斜率k2,利用放縮法即可證明結(jié)論.
解答:(1)解:由題意,a=2
∵H的離心率e=
5
2
,∴
4+b2
4
=
5
4
,∴b=1
∴H的方程為
x2
4
-y2=1

(2)證明:設(shè)A(m,n),由題意可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
∴B(-m,-n),C(m,0),∴BC的方程為x=
2m
n
y+m
.(*)
∵A在雙曲線(xiàn)上,∴
m2
4
-n2=1
,∴m2=4(n2+1).
把BC的方程x=
2m
n
y+m
代入雙曲線(xiàn)方程,整理可得(3n2+4)y2+(4n3+4n)y+n4=0,
yByD=
n4
3n2+4
,而yB=-n,
yD=
-n3
3n2+4
,代入(*)可得xD=
mn2+4m
3n2+4
.∴D(
mn2+4m
3n2+4
,
-n3
3n2+4
)

k2=
n+
n3
3n2+4
m-
mn2+4m
3n2+4
=
2n2+2
mn

∴k1+k2=
n
m
+
2n2+2
mn
=
3n2+2
mn
=
(3n2+2)2
m2n2
=
9n4+12n2+4
4n2(n2+1)
9(n4+n2)
4(n4+n2)
=
3
2
.證畢
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程的聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用坐標(biāo)表示斜率及恰當(dāng)使用放縮法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F2作雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為H,若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上,則雙曲線(xiàn)C的離心率為( �。�
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F作雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為H,若FH的中點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上,則雙曲線(xiàn)C的離心率為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線(xiàn)W:
x2
a2
-
y2
b2
=′1 (a>0,b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)N(0,b),右頂點(diǎn)是M,且
MN
MF2
=-1
,∠NMF2=120°.
(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q(0,-2)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)W的右支于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)(B在A、Q之間),若點(diǎn)H(7,0)在以線(xiàn)段AB為直徑的圓的外部,試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•資陽(yáng)二模)已知雙曲線(xiàn)W:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)N(0,b),右頂點(diǎn)是M,且
MN
MF2
=-1,∠NMF2=120°.
(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q(0,-2)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)W的右支于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),若點(diǎn)H(7,0)在以線(xiàn)段AB為直徑的圓的外部,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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