Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)成等差數(shù)列，求的值；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0<a<b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  

(2) λ≠-6時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.

(3) λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：，

由條件可得，所以  （4分）

(Ⅱ)解：因?yàn)?i>b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+9）=-b_n

又b₁=,所以

當(dāng)λ＝－6時(shí)，b_n=0(n∈N⁺),此時(shí)｛b_n｝不是等比數(shù)列，

當(dāng)λ≠－6時(shí)，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當(dāng)λ≠-6時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列. （10分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-6,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)·(－)^n-1，于是可得

S_n=

要使a<S_n<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+6)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺)

   ①

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+6)<

當(dāng)a<b3a時(shí)，由－b－6－3a－6，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)b>3a時(shí)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,

且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）  （16分）

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：熟練的根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和求和來(lái)求解，屬于中檔題。