Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是橢圓C上任意一點，|PF₁|+|PF₂|=4，長軸長是短軸長的兩倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=kx+m交橢圓C于A、B兩點，記△AOB的面積為S，直線OA、OB的斜率分別為k₁、k₂，若k₁、k、k₂依次成等比數(shù)列且S≥

6

3

，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由點P是橢圓C上任意一點，||PF₁|+|PF₂|=4，長軸長是短軸長的兩倍．可得2a=4，a=2b，解得a，b即可．

解答： 解：（1）∵點P是橢圓C上任意一點，||PF₁|+|PF₂|=4，長軸長是短軸長的兩倍．
∴2a=4，a=2b，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，化為1+4k²＞m²．（*）
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

．
∵k₁、k、k₂依次成等比數(shù)列，
∴k²=k₁k₂=

y1y2

x1x2

=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

=k²+

km(x1+x2)+m2

x1x2

，
化為k2=

4-3m2

4m2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (1+4k2)2 - 4(4m2-4) 1+4k2 ]

=4

(1+k2)(1+4k2-m2) (1+4k2)2

=
原點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

．
∴S=

1

2

•d•|AB|=2|m|

1+4k2-m2 (1+4k2)2

=

m4(4-m4-2m2) 4-4m2+m4

=

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式公式、三角形的面積計算公式、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．