Question

如圖為河岸一段的示意圖．一游泳者站在河岸的A點處，欲前往對岸的C點處，若河寬BC為100m，A、B相距100m，他希望盡快到達C，準備從A步行到E（E為河岸AB上的點），再從E游到C．已知此人步行速度為v，游泳速度為0.5v．
（1）設∠BEC=θ，試將此人按上述路線從A到C所需時間T表示為θ的函數(shù)，并求自變量θ的取值范圍；
（2）當θ為何值時，此人從A經E游到C所需時間T最小，其最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求出從A步行道E所用、從E游到C的路程，即可得到從A到C所需時間T表示為θ的函數(shù)，利用E位于A處時，θ取最小值，E位于B處時，θ取最大值，可得自變量θ的取值范圍；
（2）求導函數(shù)，可得，確定函數(shù)的單調性，即可得到θ=時，T取得極小值，也是最小值．
解答：解：（1）由題意，從A步行道E所用時間為，AE=AB-BE=100（1-）
從E游到C，所用時間為，EC=
∴T=
∵E位于A處時，θ取最小值，E位于B處時，θ取最大值
∴自變量θ的取值范圍為；
（2）求導函數(shù)，可得
∴時，cosθ，T′＜0；時，cosθ，T′＞0
∴θ=時，T取得極小值，也是最小值為．
點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查利用導數(shù)解決實際問題，建模是關鍵．