Question

已知橢圓：

x2

3

+y²=1，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證O到直線AB的距離為定值；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用韋達定理，由OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，化簡整理，再由點到直線的距離，即可得到定值；若AB的斜率不存在時，顯然成立；
（Ⅱ）運用弦長公式，化簡整理，再由基本不等式，即可得到最大值，當(dāng)斜率不存在時，經(jīng)檢驗|AB|＜2也成立，則有△OAB面積的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m．
由

y=kx+m x2+3y2=3

，得
（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，①
由OA⊥OB，
知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
將①代入，得4m²=3k²+3，即有m²=

3

4

（k²+1），
則有原點到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

3

2

，
當(dāng)AB的斜率不存在時，|x₁|=|y₁|，可得|x₁|=

3

2

=d，依然成立．
所以點O到直線AB的距離為定值

3

2

．
（Ⅱ）解：|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（

6km

1+3k2

）²-4×

3m2-3

1+3k2

]
=

3(9k4+10k2+1)

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

6+6

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)9k²=

1

k2

，即k=±

3

3

時等號成立．
當(dāng)斜率不存在時，經(jīng)檢驗|AB|＜2．
所以S_△OAB≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
即有△OAB面積的最大值為

3

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運用，屬于中檔題．