Question

請觀察思考如下過程：
2³-1³=3•2²-3•2+1，3³-2³=3•3²-3•3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
把這n-1個等式相加得n³-1=3•（2²+3²+…+n²）-3•（2+3+…+n）+（n-1），由此得
n³-1=3•（1²+2²+3²+…+n²）-3•（1+2+3+…+n）+（n-1），即1²+2²+…+n²=

1

3

[(n3-1+

3

2

n(n+1)-(n-1)]．
（1）根據(jù)上述等式推導出1²+2²+…+n²的計算公式；
（2）類比上述過程，推導出1³+2³+…+n³的計算公式．

Answer 1

分析：（1）由1²+2²+…+n²=

1

3

[(n3-1+

3

2

n(n+1)-(n-1)]，將右邊括號中的式子展開，再分析因式，可得1²+2²+…+n²的計算公式；
（2）類比1²+2²+…+n²的計算公式的推導過程，可得 n⁴-（n-1）⁴=4n³-6n²+4n-1，進而得到n⁴-（n-1）⁴，（n=1～n）疊加后可得4（1³+2³+…+n³）=n⁴-1+n（n+1）（2n+1）-2n（n+1）+（n+1），進而得到1³+2³+…+n³的計算公式．

解答：解：∵

1

3

[(n3-1+

3

2

n(n+1)-(n-1)]=

1

6

（2n³+3n²+n）=

1

6

•n（n+1）•（2n+1）
∴1²+2²+…+n²=

1

6

•n（n+1）•（2n+1）
（2）類比n³-（n-1）³=3n²-3n+1可得：
n⁴-（n-1）⁴=n⁴-（n⁴-4n³+6n²-4n+1）=4n³-6n²+4n-1，
∴2⁴-1⁴=4•2³-6•2²+4•2-1，3⁴-2⁴=4•3³-6•3²+4•3-1，…，n⁴-（n-1）⁴=4n³-6n²+4n-1，
將上面n-1個等式相加得n⁴-1⁴=4（2³+3³+…+n³）-6（2²+3²+…+n²）+4（2+3+…+n）-（n-1），
即n⁴-1⁴=4（1³+2³+…+n³）-6（1²+2²+…+n²）+4（1+2+3+…+n）-（n-1）-2，
即n⁴-1=4（1³+2³+…+n³）-6•

n(n+1)(2n+1)

6

+4•

n(n+1)

2

-（n+1），
即4（1³+2³+…+n³）=n⁴-1+n（n+1）（2n+1）-2n（n+1）+（n+1），
由于n⁴-1+n（n+1）（2n+1）-2n（n+1）+（n+1）
=（n-1）（n+1）（n²+1）+n（n+1）（2n+1）-2n（n+1）+（n+1）
=（n+1）[（n-1）（n²+1）+n（2n+1）-2n+1]
=（n+1）（n³-n²+n-1+2n²+n-2n+1）
=（n+1）（n³+n²）=n²（n+1）²，
所以1³+2³+…+n³=[

n•(n+1)

2

]2

點評：本題考查的知識點是類比推理，其中已知中的推理過程，類比得到n⁴-（n-1）⁴=4n³-6n²+4n-1，進而得到1³+2³+…+n³的計算公式是解答的關鍵．