【題目】將一個半徑為3分米,圓心角為α(α∈(0,2π))的扇形鐵皮焊接成一個容積為V立方分米的圓錐形無蓋容器(忽略損耗).
(1)求V關于α的函數(shù)關系式;
(2)當α為何值時,V取得最大值;
(3)容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個半徑為0.5分米的球?請說明理由.
【答案】
(1)解:由題意知圓錐的母線l=3,設圓錐的底面半徑為r,則2πr=3α,
∴r= ,∴圓錐的高h= = = .
∴V= =
(2)解:V= = ≤ =2 .
當且僅當4π2﹣α2= 即α= 時,取等號.
∴當α= 時,體積V取得最大值
(3)解:當圓錐體積最大時,圓錐的底面半徑r= .
設圓錐軸截面△ABC的內切圓⊙O半徑為R,如圖所示,
則OD=R,CD=CE= ,AC=3,∴AE= ,AD=3﹣ .
由△AOD∽△ACE得 ,
∴ ,解得R=3 ≈0.8.
∵0.8>0.5,
∴容積最大的圓錐形容器能完全蓋住桌面上一個半徑為0.5分米的球.
【解析】(1)根據(jù)面積得出圓錐的底面半徑,利用勾股定理求出圓錐的高,代入體積公式即可;(2)利用基本不等式得出體積的最值及取得最值得條件;(3)求出圓錐內切球的半徑,與0.5比較大小.
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應用和旋轉體(圓柱、圓錐、圓臺)是解答本題的根本,需要知道用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”;常見的旋轉體有:圓柱、圓錐、圓臺、球.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的單調遞減的奇函數(shù),當時,.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】若是兩個相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為 .(寫出所有真命題的序號)
①若直線,則在平面內,一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內,一定存在無數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內,不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內,一定存在與直線垂直的直線.
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【題目】下列說法:
①函數(shù)的單調增區(qū)間是;
②若函數(shù)定義域為且滿足,則它的圖象關于軸對稱;
③函數(shù)的值域為;
④函數(shù)的圖象和直線的公共點個數(shù)是,則的值可能是;
⑤若函數(shù)在上有零點,則實數(shù)的取值范圍是.
其中正確的序號是_________.
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【題目】設數(shù)列{an}按三角形進行排列,如圖,第一層一個數(shù)a1 , 第二層兩個數(shù)a2和a3 , 第三層三個數(shù)a4 , a5和a6 , 以此類推,且每個數(shù)字等于下一層的左右兩個數(shù)字之和,如a1=a2+a3 , a2=a4+a5 , a3=a5+a6 , ….
(1)若第四層四個數(shù)為0或1,a1為奇數(shù),則第四層四個數(shù)共有多少種不同取法?
(2)若第十一層十一個數(shù)為0或1,a1為5的倍數(shù),則第十一層十一個數(shù)共有多少種不同取法?
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【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥, 成年人按規(guī)定的劑量服用后, 每毫升血液中的含藥量(微克)與時間(小時)之間關系滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出關于的函數(shù)關系式:;
(2)據(jù)進一步測定: 每毫升血液中的含藥量不少于微克時, 治療疾病有效. 求服藥一次后治療疾病有效的時間.
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【題目】若f(x)=ex+ae﹣x為偶函數(shù),則f(x﹣1)< 的解集為( )
A.(2,+∞)
B.(0,2)
C.(﹣∞,2)
D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)
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