【題目】如圖,在三棱錐中,,二面角的大小為120°,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)的重心.

1)證明:平面

2)求二面角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)連接,并延長(zhǎng)相交于點(diǎn),連接,可證得,從而得證;

2)過點(diǎn)中作,與相交于點(diǎn),可得,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求平面的法向量和平面的一個(gè)法向量為,再求得,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可得解.

1)證明:連接,并延長(zhǎng)相交于點(diǎn),連接,

因?yàn)辄c(diǎn)的重心,所以,

中,有

所以,

平面平面,

所以平面;

2)解:過點(diǎn)中作,與相交于點(diǎn),因?yàn)?/span>,,則為二面角的平面角,則

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?/span>,,則,,

所以

記平面的法向量,

,得到平面的一個(gè)法向量,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,

,得到平面的一個(gè)法向量,

,

設(shè)二面角的平面角為,則,

即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知定義在上的數(shù)滿足,當(dāng)時(shí).若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

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【題目】下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是(

①直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等,則這條直線和這個(gè)平面平行;

為異面直線,則過且與平行的平面有且僅有一個(gè);

③直四棱柱是直平行六面體;

④兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐.

A.0B.1C.2D.3

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【題目】已知,.

(1)當(dāng)時(shí),求證:;

(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè)數(shù)列滿足

(1)求的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和

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【題目】已知函數(shù) 。

(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;

(2)若在點(diǎn)處的切線方程為,若對(duì)任意的

恒有,求的取值范圍(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。

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【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與定直線相切.

1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;

2)過點(diǎn)的任一條直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4,動(dòng)直線交拋物線于坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A,交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B,若動(dòng)點(diǎn)P滿足,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

1)求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

3)以下給出曲線C的四個(gè)方面的性質(zhì),請(qǐng)你選擇其中的三個(gè)方面進(jìn)行研究:①對(duì)稱性;②范圍;③漸近線;④時(shí),寫出由確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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【題目】某市交通管理部門為了解市民對(duì)機(jī)動(dòng)車“單雙號(hào)限行”的態(tài)度,隨機(jī)采訪了100名市民,將他們的意見和是否擁有私家車的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到了如下的列聯(lián)表:

贊同限行

不贊同限行

合計(jì)

沒有私家車

15

有私家車

45

合計(jì)

100

已知在被采訪的100人中隨機(jī)抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是.

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“對(duì)限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關(guān)”;

(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該市大量市民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名市民,抽取3次,記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、期望和方差.

附:參考公式:,其中.

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.10

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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