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19.設|OA|=1,|OB|=2,OAOB=0,OPOAOB,且λ+μ=1,則OAOP上的投影的取值范圍是(-5,1].

分析 由條件求得|OP|、OAOP的值,可得OAOP上的投影為x=\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}},分類討論,求得\frac{1}{x}的范圍,可得x的范圍.

解答 解:∵|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=2,\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{OP}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB},且λ+μ=1,
∴|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{{[λ\overrightarrow{OA}+(1-λ)\overrightarrow{OB}]}^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}+0+{4(1-λ)}^{2}}=\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4},
\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}•[λ\overrightarrow{OA}+(1-λ)\overrightarrow{OB}]=λ•{\overrightarrow{OA}}^{2}+(1-λ)\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}=λ•{\overrightarrow{OA}}^{2}=λ.
\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OP}上的投影為x,則 \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OP}=x•|\overrightarrow{OP}|=x•\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}=λ,
∴x=\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}
當λ=0時,x=0,當λ>0時,\frac{1}{x}=\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}=\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1},故當λ=1時,\frac{1}{x}取得最小值,為1,
\frac{1}{x}≥1,∴0<x≤1.
當λ<0時,\frac{1}{x}=-\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}=-\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}=-\sqrt{{(\frac{2}{λ}-2)}^{2}+1}<-\sqrt{4+1}=-\sqrt{5},即 \frac{1}{x}<-\sqrt{5},
∴-\sqrt{5}<x<0.
綜上可得,x∈(-\sqrt{5},1],
故答案為:(-\sqrt{5},1].

點評 本題考點是向量在幾何中的應用,綜合考查了向量的線性運算,向量的數(shù)量積的運算及數(shù)量積公式,熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵,是中檔題.

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