已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．

Ⅰ．求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；

Ⅱ．求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大��；

Ⅲ．求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離．

 

答案：
解析：

Ⅰ．作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1

面ABC，得A1D面ABC，

所以∠A1AD為A1A與面ABC所成的角.

因?yàn)?i>AA1A1C，AA1=A1C，

所以∠A1AD =45º為所求.

Ⅱ．作DEAB，垂足為E，連A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB.

所以∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.

由已知，ABBC，得ED∥BC.

又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=2，

所以DE=1，AD=A1D=，　　 tan∠A1ED==.

故∠A1ED=60º為所求.

Ⅲ．解法一：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A1ABB1的距離.

連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB.

又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，

所以∠HBC=∠A1ED=60º

所以CH=BCsin60º=為所求.

解法二：連結(jié)A1B.

根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐C－A1AB的高h.

由得，

即　　 

所以為所求.

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠B1BC=60°，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，二面角A-B1B-C為30°．
（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；
（2）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60°，AB=AC，M是B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面A1CM；
（Ⅱ）若AB1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角B-AC-B1的大�。�

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已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，BC⊥面ABC1，CC1與面ABC所成的角為60°則斜三棱柱ABC-A1B1C1體積的最小值是
9
3
9
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱與底面所成角為
π3
，且側(cè)面ABB1A1垂直于底面．
（1）判斷B1C與C1A是否垂直，并證明你的結(jié)論；
（2）求四棱錐B-ACC1A1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，A1D⊥平面ABC，A1B⊥ACl
（I）求證：AC1⊥AlC； 
（Ⅱ）求二面角A-A1B-C的余弦值．

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