Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+（x-a）²，a為常數(shù)．
（1）若當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln

e

2

．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用f（x）存在極值，求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，
∵x=1時(shí)，f（x）取得極值，f'（1）=0，3-2a=0，a=

3

2

…（2分）
f′(x)=

2x2-3x+1

x

(x＞0)，f'（x）＞0?2x²-3x+1＞0（x＞0）x＞1或0＜x＜

1

2

，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

2

)、（1，+∞）…（4分）
（2））∵f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，令f'（x）=0
則2x²-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但沒(méi)有等根．△=4a²-8=4（a²-2）
當(dāng)-

2

＜a＜

2

時(shí)，△＜0，則2x²-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無(wú)極值．
當(dāng)a=

2

時(shí)，2x2-2

2

x+1=0，方程的根x0=

2

2

，x∈(0，

2

2

)，x∈(

2

2

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上無(wú)極值．
同理當(dāng)a=-

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無(wú)極值．
當(dāng)a＜-

2

或a＞

2

時(shí)，△＞0，方程有二個(gè)解x1=

a- a2-2

2

，x2=

a+ a2-2

2

，且x₁+x₂=a，x1•x2=

1

2

當(dāng)a＜-

2

時(shí)，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁，x₂均為負(fù)根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∴f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞

2

時(shí)x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，∴x₁•x₂∈（0，+∞）

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f′（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴f（x）在x₁處有極大值，在x₂處有極小值．
∴a的取值范圍是(

2

，+∞)…（8分）
∵f(x1)+f(x2)=lnx1+lnx2+(x1-a)2+(x2-a)2=lnx1x2+(x12+x22)-2a(x1+x2)+2a2=ln

1

2

+(x12+x22)-2a•a+2a2≥ln

1

2

+2x1x2=ln

1

2

+1=ln

e

2

∵x₁≠x₂，∴f(x1)+f(x2)＞ln

e

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，運(yùn)算量較大．