(本小題滿分18分)已知數(shù)列{an}、{bn}、{cn}的通項(xiàng)公式滿足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*?),若數(shù)列{bn}是一個(gè)非零常數(shù)列,則稱數(shù)列{an}是一階等差數(shù)列;若數(shù)列{cn}是一個(gè)非零常數(shù)列,則稱數(shù)列{an}是二階等差數(shù)列?(1)試寫出滿足條件a=1,b1=1,cn=1(n∈N*?)的二階等差數(shù)列{an}的前五項(xiàng);(2)求滿足條件(1)的二階等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(3)若數(shù)列{an}首項(xiàng)a=2,且滿足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*?),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(2)an=(n2-n+2)/2  (3)an=4n-2n


解析:

(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11-----4分

(2)依題意bn+1-bn=cn=1,n=1,2,3,…

所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b2-b1)+b1=1+1+1+…+1=n   ---6分

又an+1-an=bn=n,n=1,2,3,…所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a

=(n-1)+(n-2)+…+2+1+1=n(n-1)/2+1=(n2-n+2)/2  --10分

(3)由已知cn-bn+1+3an= -2n+1,可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1,即bn-3an=2n+1,∴an+1=4an+2n+1. -12分

解法一:整理得:an+1+2n+1=4(an+2n),-------15分

因而數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,

∴an+2n=4·4n-1=4n,即an=4n-2n.(18分)

解法二:在等式an+1=4an+2n+1兩邊同時(shí)除以2n+1得:an+1/2n+1=2·an/2n+1.----15分

令kn=an/2n,則kn+1=2kn+1,即kn+1+1=2(kn+1)

故數(shù)列{kn+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列所以kn+1=2·2n-1=2n,即kn=2n-1.

∴an=2nkn=2n(2n-1)=4n-2n. -------18分

解法三:∵a=2,∴a2=12=2×(2-1),a3=56=2×(2-1),a4=32=2×(2-1)

猜想:an=2n(2n-1)=4n-2n. ------15分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:(i)當(dāng)n=1時(shí),a=2=4-2,猜想成立;

(ii)假設(shè)n=k時(shí),猜想成立,即ak=4k-2k.那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=4ak+2k+1=4(4k-2k)+2k+1=4 k+1-2 k+1,結(jié)論也成立∴由(i)、(ii)可知,an=4n-2n.----18分

練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分18分)如圖,將圓分成個(gè)扇形區(qū)域,用3種不同顏色給每一個(gè)扇形區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為。求

(Ⅰ);

(Ⅱ)的關(guān)系式;

(Ⅲ)數(shù)列的通項(xiàng)公式,并證明。

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(1)求函數(shù)的解析式;

(2

 

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(本小題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.

(文)已知數(shù)列中,

(1)求證數(shù)列不是等比數(shù)列,并求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和

(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意恒成立,求的最小值.

 

 

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設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)?i>R的奇函數(shù).

(1)求k值;

(2)(文)當(dāng)時(shí),試判斷函數(shù)單調(diào)性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

(理)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的的取值范圍;

(3)若f(1)=,且g(x)=a 2xa - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.

 

 

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