Question

已知函數(shù)g（x）=lnx+ax²+bx．（a，b∈R）
（1）若關(guān)于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集為（-∞，1）∪（2，+∞），求b-a的值；
（2）求f（x）=g（x）-bx的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=b=1，y=g（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（其中x₁≥e²x₂）使得PQ的斜率等于曲線在其上一點(diǎn)C（點(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)）處的切線的斜率？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)不等式1+lnx＞g（x）的解集得到ax²+bx-1＜0的解集，代入即可；
（2）需要分類討論a的取值，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂，），建立等式關(guān)系，根據(jù)方程的解的情況可得是否符合條件．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集為（-∞，1）∪（2，+∞），
∴ax²+bx-1＜0的解集為（-∞，1）∪（2，+∞），
則a＜0，1+2=

b

a

，1×2=-

1

a

，
∴a=-

1

2

，b=

3

2

，
∴b-a=2；
（2）∵f（x）=g（x）-x=lnx+ax²，（a∈R），
∴f′（x）=

1

x

+2ax=

2ax2+1

x

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無(wú)極值，
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

1

x

+2ax=

2ax2+1

x

=0，x=

- 1 2a

  （x＞0）．
當(dāng)x∈（0，

- 1 2a

 ），f′（x）≥0，
當(dāng)x∈（

- 1 2a

，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

- 1 2a

 ）單調(diào)遞增，在（

- 1 2a

，+∞）單調(diào)遞減．
（3）若a=b=1，假設(shè)存在這樣的兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（其中x₁≥e²x₂），
中點(diǎn)C的橫坐標(biāo) x₀=

x1+x2

2

，
∴g′(x)=

1

x

+2x+1，
∵PQ的斜率等于曲線在其上一點(diǎn)C（點(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)）處的切線的斜率，
∴g′(x0)=

1

x0

+2x0+1=

y1-y2

x1-x2

=

lnx1+ x 2 1 +x1-(lnx2 +x 2 2 +x2)

x1-x2

，
即

1

x0

+2x0+1=

ln x1 x2 +(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2)

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

+(x1+x2)+1，
∴

1

x0

+2x0+1=

ln x1 x2

x1-x2

+2x0+1，

2

x1+x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，

∴

2( x1-x2)

x1+x2

=ln

x1

x2

，∴

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

，
令t=

x1

x2

，
∵x1≥e2x2，即t≥e²，∴

2(t-1)

t+1

=lnt，∴l(xiāng)nt≥2，
又

2(t-1)

t+1

=2-

2

t+1

＜2，
∴方程

2(t-1)

t+1

=lnt，t≥e²，無(wú)解，
即滿足條件的兩點(diǎn)P，Q不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域的求法，探索是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)，探索函數(shù)圖象上滿足條件的兩點(diǎn)是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，有一定的探索性