已知f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
+
1
2

(1)求f(x)的周期及其圖象的對(duì)稱中心;
(2)△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,滿足(2a-c)cosB=bcosC,求f(B)的值.
分析:(1)利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為sin(
x
2
+
π
6
)+1,由此可得f(x)的周期及其圖象的對(duì)稱中心.
(2)△ABC中,由(2a-c)cosB=bcosC,利用正弦定理化簡(jiǎn)可得得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,故有cosB=
1
2
,由此求得 B 的值.
解答:解:(1)∵已知f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
+
1
2
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+1=sin(
x
2
+
π
6
)+1,
故f(x)的周期為
1
2
=4π.
由sin(
x
2
+
π
6
)=0 求得
x
2
+
π
6
=kπ,k∈z,即 x=2kπ-
π
3
,故函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為(2kπ-
π
3
,0).
(2)△ABC中,∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理可得 (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
化簡(jiǎn)可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=
1
2
,∴B=
π
3

∴f(B)=sin(
π
6
+
π
6
)+1=
3
2
+1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及求法,正弦函數(shù)的對(duì)稱中心、正弦定理,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
3
sinx+cosx(x∈R)
,函數(shù)y=f(x+φ)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,則φ的值可以是(  )
A、-
π
6
B、
π
3
C、-
π
3
D、
π
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
3
sinx+cosx
,x∈[
π
3
,
3
]
,則f(x)的最大值為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
3
sinx-cosx
,?x1,x2∈R(x1≠x2)則
f(x1)-f(x2)
x1-x2
的取值范圍是:
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:022

已知f(x)=3sinx-4cosx,當(dāng)f(x)取最大值時(shí),f(x)的值為________。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=3sinx-4cosx,當(dāng)f′(x)取最大值時(shí),f(x)的值為_________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案