Question

已知直線l：y=kx與圓C₁：（x-1）²+y²=1相交于A、B兩點，圓C₂與圓C₁相外切，且與直線l相切于點M（3，

3

），求
（1）k的值
（2）|AB|的值
（3）圓C₂的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）點M在直線上，即可求出k的值；
（2）求出圓心到直線有距離，即可求出|AB|；
（3）利用圓C₁與圓C₂相切，可得

(m-3)2+3(m-4)2

=1+2|m-3|，分類討論，即可求出圓C₂的方程．

解答： 解：（1）由題意知，點M在直線上，所以k=

3

3

（2分）
（2）圓心到直線有距離d=

|1- 3 ×0|

12+(- 3 )2

=

1

2

，于是|AB|=2

r2-d2

=

3

（4分）
（3）設所求的圓心的坐標為C₂（m，n），半徑為R．
由題意知C2M⊥l，則kC2M•kl=-1，即n=-

3

m+4

3

，從而R=C₂M=2|m-3|，（8分）
又圓C₁與圓C₂相切，則C1C2=

(m-1)2+n2

=1+R，
即：

(m-3)2+3(m-4)2

=1+2|m-3|
（A）當m≥3時解得：m=4，n=0，R=2，則圓C₂的方程為：（x-4）²+y²=4
（B）當m，3時解得：m=0，n=4

3

，R=6，則圓C₂的方程為：x2+(y-4

3

)2=36
所以所求圓的方程為：（x-4）²+y²=4，x2+(y-4

3

)2=36（14分）

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．