Question

10．設(shè)L為曲線C：y=e^x在點（0，1）處的切線．
（Ⅰ）證明：除切點（0，1）之外，曲線C在直線L的上方；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=e^x-ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1對x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（0），從而求出切線方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，單調(diào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=e^x，則f′（x）=e^x，
∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，
令g（x）=f（x）-（x+1），
則除切點之外，曲線C在直線L的上方等價于g（x）＞0，（?x∈R，x≠0），
g（x）滿足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）-1=e^x-1，
當x＜0時，g′（x）＜0，故g（x）遞減，
當x＞0時，g′（x）＞0，故g（x）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴除切點（0，1）之外，曲線C在直線L的上方；
（Ⅱ）h（x）的定義域是{x|x＞-1}，且h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
①a≤2時，由（Ⅰ）得：e^x≥x+1，
∴h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a≥x+1+$\frac{1}{x+1}$-a≥2-a≥0，
∴h（x）在[0，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意；
②a＞2時，由x∈[0，+∞），
且h′（x）的導(dǎo)數(shù)h″（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}{•e}^{x}-1}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
∴h′（x）在區(qū)間[0，+∞）遞增，
∵h′（0）=2-a＜0，h′（lna）=$\frac{1}{1+lna}$＞0，
于是存在x₀∈（0，+∞），使得h′（x₀）=0，
∴h（x）在區(qū)間（0，x₀）上遞減，在區(qū)間（x₀，+∞）遞增，
∴h（x₀）＜h（0）=1，
此時，h（x）≥1不會恒成立，不合題意，
綜上，a的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了曲線的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．