材料:為了美化環(huán)境,某房地產(chǎn)公司打算在所管轄的一個居民小區(qū)內(nèi)的一塊半圓形空地上,劃出一個內(nèi)接矩形辟為綠地,且使矩形的一邊落在半圓的直徑上,而另外兩個頂點在半圓的圓周上,已知半圓的半徑為30米.為了使綠地的面積最大,該公司請了本公司的一位設(shè)計師,設(shè)計出了這個半圓內(nèi)接矩形的長與寬的關(guān)系.該設(shè)計師的計算過程如下:

如下圖,設(shè)CD=x,則OD=,矩形的面積設(shè)為S,則

S=2x·

所以當(dāng)x2=450,即x=時,S有最大值,即此時矩形的面積最大.

問題:現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的有關(guān)知識,利用三角函數(shù)的知識該如何解決這一問題?

答案:
解析:

若用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決這一問題,可設(shè)∠COD=α,則CD=30sinα,OD=30cosα,矩形的面積為S=2CD·OD=900×2sinαcosα=900sin2α,根據(jù)正弦函數(shù)值域即可求出長、寬各為多少時矩形的面積最大.


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