Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右焦點到直線l：x-y+4=0的距離為

5 2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過直線l上的動點P作橢圓C的切線PM、PN，切點分別為M、N，連結MN．
（1）證明：直線MN恒過定點Q；
（2）證明：當MN∥l時，定點Q平分線段MN．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c

a

=

2

2

，

c+4

2

=

5 2

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）（1）設P（x₀，y₀）．M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂），由已知條件推導出

x0x

2

+y0y=1是直線MN的方程，其中（x₀，y₀）滿足直線l的方程，由此能求出直線MN恒過定點Q(-

1

2

，

1

4

)．
（2）由（1）知當MN∥l時，MN的方程為x-y+

3

4

=0，與橢圓方程聯(lián)立，得x2+x-

7

24

=0，由此能證明點Q平分線段MN．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，
右焦點到直線l：x-y+4=0的距離為

5 2

2

．
∴

c

a

=

2

2

，

c+4

2

=

5 2

2

，
解得c=1，a=

2

，b=1，
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（1）證明：設P（x₀，y₀）．M（x₁，y₁）．N（x₂，y₂）．
則橢圓過點M、N的切線方程分別為

x1x

2

+y1y=1，

x2x

2

+y2y=1．…（5分）
∵兩切線都過點P，則有

x1x0

2

+y1y0=1，

x2x0

2

+y2y0=1．
這表明M．N均在直線

x0x

2

+y0y=1①上．
由兩點決定一條直線知，
式①就是直線MN的方程，其中（x₀，y₀）滿足直線l的方程．…（7分）
當點P在直線l上運動時，
可理解為x₀取遍一切實數(shù)，相應的y₀為y₀=x₀+4．
代入①消去y₀得

x0

2

x+(x0+4)y-1=0
變形可得x0(

x

2

+y)+(4y-1)=0對一切x₀∈R恒成立．
∴

x 2 +y=0 4y-1=0

由此解得直線MN恒過定點Q(-

1

2

，

1

4

)．…（10分）
（2）證明：由（1）知當MN∥l時，MN的方程為x-y+

3

4

=0
將此方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得x2+x-

7

24

=0．…（11分）
設MN截橢圓所得弦的中點為Q′（x′，y′），
x′=

x1+x2

2

=-

1

2

，y′=x′+

3

4

=

1

4

，∴點Q′與Q重合．
所以點Q平分線段MN．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點的證明，考查定點平分線段的證明，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．