Question

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì)P：對任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（Ⅱ）求證：a_n≤2a₁+a₂+…+a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）若a_n=72，求數(shù)集A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用性質(zhì)P的概念，對數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}判斷即可；
（Ⅱ）利用集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質(zhì)P，可分析得到a_i≤a_k-1，a_j≤a_k-1，從而a_k=a_i+a_j≤2a_k-1，（k=2，3，…n），將上述不等式相加得a₂+…+a_n-1+a_n≤2（a₁+a₂+…+a_n-1）
即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）首先注意到a₁=1，根據(jù)性質(zhì)P，得到a₂=2a₁=2，構(gòu)造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，這兩個集合具有性質(zhì)P，此時元素和為147．
再利用反證法證明滿足S=

n

i=1

a_i≤147最小的情況不存在，從而可得最小值為147．

解答：解：（Ⅰ）因為 3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性質(zhì)P．
因為 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性質(zhì)P    …（4分）
（Ⅱ）因為集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質(zhì)P：
即對任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立，
又因為1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2，所以a_i＜a_k，a_j＜a_k
所以a_i≤a_k-1，a_j≤a_k-1，所以a_k=a_i+a_j≤2a_k-1
即a_n-1≤2a_n-2，a_n-2≤2a_n-3，…，a₃≤2a₂，a₂≤2a₁…（6分）
將上述不等式相加得a₂+…+a_n-1+a_n≤2（a₁+a₂+…+a_n-1）
所以a_n≤2a₁+a₂+…+a_n-1…（9分）
（Ⅲ）最小值為147．
首先注意到a₁=1，根據(jù)性質(zhì)P，得到a₂=2a₁=2
所以易知數(shù)集A的元素都是整數(shù)．
構(gòu)造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，這兩個集合具有性質(zhì)P，此時元素和為147．
下面，我們證明147是最小的和
假設(shè)數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2），滿足S=

n

i=1

ai≤147最小（存在性顯然，因為滿足

n

i=1

ai≤147的數(shù)集A只有有限個）．
第一步：首先說明集合A={a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）中至少有8個元素：
由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…
又a₁=1，所以a₂≤2，a₃≤4，a₄≤8，a₅≤16，a₆≤32，a₇≤64＜72，
所以n≥8
第二步：證明a_n-1=36，a_n-2=18，a_n-3=9：
若36∈A，設(shè)a_t=36，因為a_n=72=36+36，為了使得S=

n

i=1

ai最小，在集合A
中一定不含有元素a_k，使得36＜a_k＜72，從而a_n-1=36；
假設(shè)36∉A，根據(jù)性質(zhì)P，對a_n=72，有a_i，a_j，使得a_n=72=a_i+a_j
顯然a_i≠a_j，所以a_n+a_i+a_j=144
而此時集合A中至少還有5個不同于a_n，a_i，a_j的元素，
從而S＞（a_n+a_i+a_j）+5a₁=149，矛盾，
所以36∈A，進而a_t=36，且a_n-1=36；
同理可證：a_n-2=18，a_n-3=9
（同理可以證明：若18∈A，則a_n-2=18）．
假設(shè)18∉A．
因為a_n-1=36，根據(jù)性質(zhì)P，有a_i，a_j，使得a_n-1=36=a_i+a_j
顯然a_i≠a_j，所以a_n+a_n-1+a_i+a_j=144，
而此時集合A中至少還有4個不同于a_n，a_n-1，a_i，a_j的元素
從而S＞a_n+a_n-1+a_i+a_j+4a₁=148，矛盾，
所以18∈A，且a_n-2=18
同理可以證明：若9∈A，則a_n-3=9
假設(shè)9∉A
因為a_n-2=18，根據(jù)性質(zhì)P，有a_i，a_j，使得a_n-2=18=a_i+a_j
顯然a_i≠a_j，所以a_n+a_n-1+a_n-2+a_i+a_j=144
而此時集合A中至少還有3個不同于a_n，a_n-1，a_n-2，a_i，a_j的元素
從而S＞a_n+a_n-1+a_n-2+a_i+a_j+3a₁=147，矛盾，
所以9∈A，且a_n-3=9）
至此，我們得到了a_n-1=36，a_n-2=18，a_n-3=9a_i=7，a_j=2．
根據(jù)性質(zhì)P，有a_i，a_j，使得9=a_i+a_j
我們需要考慮如下幾種情形：
①a_i=8，a_j=1，此時集合中至少還需要一個大于等于4的元素a_k，才能得到元素8，
則S＞148；
②，此時集合中至少還需要一個大于4的元素a_k，才能得到元素7，
則S＞148；
③a_i=6，a_j=3，此時集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，為147；
④a_i=5，a_j=4，此時集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，為147．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，突出考查反證法的應(yīng)用，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，a_n-1=36，a_n-2=18的證明是難點，屬于難題．