Question

已知邊長為6的正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PD⊥平面ABCD，PD=8，
（1）連接PB、AC，證明：PB⊥AC；
（2）連接PA，求PA與平面PBD所成的角的大��；
（3）求點(diǎn)D到平面PAC的距離．

Answer 1

解：（1）證明：連接BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．
（2）解：因?yàn)锳C⊥平面PBD，設(shè)AC與BD交于O，連接PO，則∠APO就是PA與平面PBD所成的角，
在△APO中，AO=3，AP=10
所以 sin∠APO=
∠APO=arcsin
PA與平面PBD所成的角的大小為arcsin
（3）解：連接PC，設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，
則有V_D-PAC=V_P-ACD，即：×S△_PAC×h=×PD×AD×DC
在△PAC中，顯然PO⊥AC，PO=
h=
所以點(diǎn)D到平面PAC的距離為
分析：（1）欲證PB⊥AC，只需證明AC垂直PB所在平面即可，因?yàn)镻B在平面PBD中，AC垂直平面PBD中的兩條相交直線PD和BD，所以問題得證．
（2）欲求PA與平面PBD所成的角的大小，只需找到PA在平面PBD中的射影，PA與它的射影所成角即為所求，再放入三角形中，解三角形即可．
（3）利用等體積法，點(diǎn)D到平面PAC的距離可以看做三棱錐D-PAC的高，三棱錐D-PAC還可把三角形DAC看做底面，PD看做高，利用兩種方式求出體積，令其相等，即可求出點(diǎn)D到平面PAC的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與直線垂直的證明，直線與平面所成角的計(jì)算，以及點(diǎn)到平面的距離的求法，屬于立體幾何的常規(guī)題．