Question

已知sinα+cosα=

3 5

5

，α∈(0，

π

4

)，sin(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

4，

，

π

2

)，求cos（α+2β）的值．

Answer 1

分析：由sinα+cosα=

3 5

5

，及sin²α+cos²α=1可求sinα，cosα，然后由sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈(

π

4

，

π

2

)可求cos（β-

π

4

），利用二倍角的正弦公式可求sin（2β-

π

2

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

），即可求cos2β，sin2β，最后再利用兩角差的余弦公式cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β可求

解答：解：∵sinα+cosα=

3 5

5

，α∈(0，

π

4

)，sin(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

4，

，

π

2

)
又∴sin²α+cos²α=1
∴sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

∵sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈(

π

4

，

π

2

)
∴cos（β-

π

4

）=

4

5

∴sin（2β-

π

2

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

）=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

即-cos2β=

24

25

∴cos2β=-

24

25

∴sin2β=

7

25

cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=

2 5

5

×(-

24

25

)-

5

5

×

7

25

=-

11 5

25

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了同角平方關(guān)系、兩角和與差的三角公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本公式