Question

已知動圓P在x軸上截得的弦長為4，且過定點Q（0，2），動圓心P形成曲線L，
（1）求證：曲線L是開口向上的拋物線．
（2）若拋物線線y=ax²上任一點M（x₀，y₀）處的切線斜率為2ax₀，過直線：l：y=x-2上的動點A作曲線L的切線，切點為B，C，求ABC面積的最小值及對應點A的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出動圓圓心C的坐標，由圓的半徑、弦心距及半弦長的關系列式整理求得動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設直線BC的方程為y=kx+b，代入拋物線方程，消去y得x²-4kx-4b=0，由此利用根的判別式、韋達定理、切線方程、點到直線的距離公式能求出△ABC面積的最小值及此時點A的坐標．

解答： （1）證明：設C（x，y），
由動圓過定點A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴動圓圓心的軌跡C的方程為x²=4y，
∴曲線L是開口向上的拋物線；（4分）
（2）解：設直線BC的方程為y=kx+b，
代入拋物線方程，消去y得x²-4kx-4b=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
且△=16k²+16b．…（6分）
以點B為切點的切線的斜率為k_P=

1

2

x₁，
其切線方程為y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，
同理過點C的切線的方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，
設兩條切線的交點為A（x_A，y_A）在直線x-y-2=0上，
解得x_A=2k，y_A=-b，即A（2k，-b），
則：2k+b-2=0，即b=2-2k，…（8分）
代入△=16k²+16b=16k²+32-32k=16（k-1）²+16＞0，
∴|PQ|=4

1+k2

•

k2+b

，
A（2k，-b）到直線PQ的距離為d=

|2k2+2b|

k2+1

，…（10分）
∴S_△ABC=

1

2

|BC|d=4|k²+b|

k2+b

=4(k2+b)

3

2

=4[(k-1)2+1]

3

2

，
∴當k=1時，S_△ABC最小，其最小值為4，此時點A的坐標為（2，0）．…（12分）

點評：本題考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查三角形面積的最小值的求法，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系解題，是高考試卷中的壓軸題．