Question

已知雙曲線C₁：

13x2

16

-

13y2

36

=1，點(diǎn)A、B分別為雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在x軸上方．
（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x₀，3）（x₀＞0）是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的橢圓的方程；
（2）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圓的方程；
（3）若在給定直線y=x+t上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向（2）中圓引一條切線，切點(diǎn)為Q．問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有|PM|=|PQ|？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和漸進(jìn)線方程，由定義求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距c，及b，即可得到橢圓方程；
（2）運(yùn)用正弦定理

|AB|

sinC

=2R得到R=2

2

，又圓心在線段AB的垂直平分線上，求出圓心，即可得到圓的方程；
（3）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)M（m，n），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+t）由恒有|PM|=|PQ|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和切線長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)得到（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0對(duì)x∈R恒成立．令系數(shù)為0，再消去m，由判別式的符號(hào)，即可判斷．

解答： 解：（1）雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（2，0），
∵雙曲線的漸進(jìn)線方程為：y=±

3

2

x，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，3）（x₀＞0）是漸進(jìn)線y=

3

2

x上的點(diǎn)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）．
∵|AC|=5，|BC|=3∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，
∵半焦距c=2，∴b²=a²-c²=16-4=12．
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；    
（2）∵

|AB|

sinC

=2R，∴2R=4

2

，即R=2

2

又圓心在線段AB的垂直平分線上，故可設(shè)圓心（0，s）（s＞0）
由4+s²=8，s=2．∴△ABC的外接圓的方程為x²+（y-2）²=8；
（3）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)M（m，n），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+t）
∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0對(duì)x∈R恒成立．
從而2m+2n-4=0且m²+n²-2nt+4t+4=0，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0①
∵方程①的判別式△=t²-4t-12
∴①當(dāng)-2＜t＜6時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解，∴不存在這樣的定點(diǎn)M；
②當(dāng)t≤-2或t≥6時(shí)，方程①有實(shí)數(shù)解，此時(shí)

|0-2+t|

2

≥2

2

，即直線y=x+t與圓相離或相切，
故此時(shí)存在這樣的定點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的方程、定義和性質(zhì)，考查圓的方程的求法，切線長(zhǎng)的求法，考查定點(diǎn)問(wèn)題，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．