Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+1|（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$對(duì)任意實(shí)數(shù)x與任意非零實(shí)數(shù)m都恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分x＞1，-1≤x≤1，x＜-1三種情況取絕對(duì)值解不等式即可；
（Ⅱ）由$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$≤$\frac{|2m+1-1+m|}{|m|}=3$，得|a+1|≥3，解得a≥2或a≤-4即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥3?|x-1+|x+1|≥3．
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x≥3，解得≥$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=2≥3，不等式無(wú)解．
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-2x≥3，解得x≤-$\frac{3}{2}$；
綜上所述，不等式解集為（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵$\frac{|2m+1|-|1-m|}{|m|}$≤$\frac{|2m+1-1+m|}{|m|}=3$，
又f（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|
∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤-4．
即a的取值范圍為：（-∞，-4]∪[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，屬于中檔題，