Question

已知函數(shù)（）．

（Ⅰ） 討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

（Ⅲ）試比較＋＋…＋與的大小(n∈N₊，且n≥2)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（Ⅰ）                                  …………1分

當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；   …………2分

當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為     …………3分

當時，不是單調(diào)函數(shù)。                              …………4分

（Ⅱ），，

                                …………5分

在區(qū)間上不單調(diào)，且           …………7分

解得                                                 …………8分

（Ⅲ）結(jié)論：＋＋…＋<  (n∈N+且n≥2)．    …………9分

證明如下：令此時，所以

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，

所以當時，，

即，對一切成立，          …………11分

則<1－對一切也成立，

所以＋＋…＋<1－＋1－＋…＋1－

＝n－1－<n－1－    …………13分

＝n－1－

＝n－1－＝(n∈N*且n≥2)．             ………… 14分

另解：也可先證明對一切成立，證法可通過令，再求導(dǎo)研究單調(diào)性進行證明．