Question

為了解甲、乙兩個(gè)班級(jí)某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），從甲、乙兩個(gè)班級(jí)中分別隨機(jī)抽取5名學(xué)生的成績(jī)作標(biāo)本，如圖是樣本的莖葉圖，規(guī)定：成績(jī)不低于120分時(shí)為優(yōu)秀成績(jī)．
（1）從甲班的樣本中有放回的隨機(jī)抽取 2 個(gè)數(shù)據(jù)，求其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)的概率；
（2）從甲、乙兩個(gè)班級(jí)的樣本中分別抽取2名同學(xué)的成績(jī)，記獲優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲班抽取的5名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?02，112，117，124，136，從中有放回地抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)，基本事件總數(shù)n=5²=25，其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)，包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)的概率．
（2）由莖葉圖知甲班抽取的5名學(xué)生中有2名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀，乙班抽取的5名學(xué)生中有1名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀，由此得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（1）甲班抽取的5名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?02，112，117，124，136，
從中有放回地抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)，基本事件總數(shù)n=5²=25，
其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)，包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2×3+3×2=12，
∴其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)的概率p=

m

n

=

12

25

．
（2）由莖葉圖知甲班抽取的5名學(xué)生中有2名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀，
乙班抽取的5名學(xué)生中有1名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀，
由此得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 2 3

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

18

100

，
P（X=1）=

C 1 3 C 1 2

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

+

C 2 3

C 2 5

×

C 1 4 C 1 1

C 2 5

=

48

100

，
P（X=2）=

C 1 3 C 1 2

C 2 5

×

C 1 4 C 1 1

C 2 5

+

C 2 2

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

30

100

，
P（X=3）=

C 2 2

C 2 5

×

C 1 4 C 1 1

C 2 5

=

4

100

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	18 100	48 100	30 100	4 100

EX=0×

18

100

+1×

48

100

+2×

30

100

+3×

4

100

=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．