Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3：
（1）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12﹣t．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=x2﹣16x+q+3的對(duì)稱軸是x=8

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減

∴要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，須滿足f（﹣1）f（1）≤0．

即（1+16+q+3）（1﹣16+q+3）≤0

解得﹣20≤q≤12．

所以使函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)的實(shí)數(shù)q的取值范圍是[﹣20，12]

（2）解：當(dāng) 時(shí)，即0≤t≤6時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（t）]，

即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．

∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．

∴t2﹣15t+52=0，∴ ．

經(jīng)檢驗(yàn) 不合題意，舍去．

當(dāng) 時(shí)，即6≤t＜8時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（10）]，

即[q﹣61，q﹣57]．

∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．

∴t=8

經(jīng)檢驗(yàn)t=8不合題意，舍去．

當(dāng)t≥8時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋篬f（t），f（10）]，

即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]

∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t

∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．

經(jīng)檢驗(yàn)t=8或t=9滿足題意，

所以存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12﹣t

【解析】（1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，得到函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上為單調(diào)函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，則f（﹣1）f（1）≤0，由此可解q的取值范圍；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三種情況進(jìn)行討論，對(duì)于每一種情況，由區(qū)間長度是12﹣t求出t的值，驗(yàn)證范圍后即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)即可以解答此題．