Question

已知函數(shù)滿足,當時,,當時, 的最大值為-4．

(I)求實數(shù)的值；

(II)設(shè)，函數(shù)，．若對任意的,總存在,使,求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(I) ； (II)

【解析】

試題分析：(I) 因為函數(shù)滿足,當，所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)當x(-4,-2),則x+4(0,2)這樣就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通過求導可求出f(x)的導數(shù)，再根據(jù)的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出最大值.從而解出的值.

(II)假設(shè)的值域為A，的值域為B，則由已知，對于任意的，使得，即函數(shù)f(x)值域的范圍比函數(shù)g(x)值域的范圍小即可.對于函數(shù)g(x)的單調(diào)性要考慮b的值.再根據(jù)，即可得結(jié)論.

試題解析：(I)由已知，得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因為x(0,2)時，f(x)=lnx+x.設(shè)x(-4,-2),則x+4(0,2).所以f(x+4)=ln(x+4)+ (x+4).所以x(-4,-2)時，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因為x(-4,-2).所以.因為.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以.所以.

（II）設(shè)的值域為A，的值域為B，則由已知，對于任意的，使得，． 

由（I）=-1，當時,,,

∵,∴，在上單調(diào)遞減函數(shù),

∴的值域為 A=

∵,

∴（1）當時，在上是減函數(shù)，此時，的值域為，

為滿足，又∴即．  12分

（2）當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，此時，的值域為，為滿足，又,∴,∴,

綜上可知b的取值范圍是．

考點：1.函數(shù)的周期性問題.2.函數(shù)的最值.3.兩個函數(shù)的值域的問題.4.含參數(shù)函數(shù)的最值問題.