Question

12．在三棱錐P-ABC中，F(xiàn)，M分別是棱PB，AC的中點(diǎn)，E為PC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若AF∥平面MEB，試確定點(diǎn)E的位置，并證明你的結(jié)論．
（2）在滿足（1）的條件下，求三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E為PC上靠近C的三等分點(diǎn)時(shí)，取PE中點(diǎn)G，則E為CG中點(diǎn)，連結(jié)FG、AG，推導(dǎo)出平面AGF∥平面MEB，從而得到AF∥平面MEB．
（2）由M是PC中點(diǎn)，得$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，由E為PC上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，則E到平面BMC的距離為$\frac{1}{3}h$，由此能求出三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比．

解答 解：（1）當(dāng)E為PC上靠近C的三等分點(diǎn)時(shí)，AF∥平面MEB．
證明：取PE中點(diǎn)G，則E為CG中點(diǎn)，
連結(jié)FG、AG，
∵F，M分別是棱PB，AC的中點(diǎn)，G為PE中點(diǎn)，E為CG中點(diǎn)，
∴GF∥BE，ME∥AG，
∵AG∩FG=G，ME∩BE=E，
AG、FG?平面AGF，ME、BE?平面MEB，
∴平面AGF∥平面MEB，
∵AF?平面AGF，∴AF∥平面MEB．
（2）∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∵E為PC上靠近C的三等分點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，
∴E到平面BMC的距離為$\frac{1}{3}h$，
∴三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比：
$\frac{{V}_{C-MEB}}{{V}_{C-PAB}}$=$\frac{{V}_{E-BMC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{S}_{△BMC}×\frac{1}{3}h}{\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h}$=$\frac{1}{6}$．
∴三棱錐C-MEB與三棱錐C-PAB的體積比為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查兩個(gè)三棱錐的體積之比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)產(chǎn)．