Question

正四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱與底面所成的角為α，側(cè)面與底面所成的角為β，側(cè)面等腰三角形的底角為γ，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為θ，則α、β、γ、θ的大小關(guān)系是（　�。�

A．α＜β＜γ＜θ

B．α＜β＜θ＜γ

C．θ＜α＜γ＜β

D．α＜γ＜β＜θ

Answer 1

分析：在正四棱錐S-ABCD，找出空間角的平面角，考慮通過三角函數(shù)的值大小關(guān)系得出角的大小關(guān)系．

解答：解：如圖，正四棱錐S-ABCD，設(shè)AB=2，高VO=h．H為BC中點(diǎn)．
在RT△VOB中，tanα=tan∠VBO=

VO

BO

=

h

2

，
在RT△VOh中，tanβ=tan∠VHO=

VO

HO

=h，
在RT△VHC中，tanγ=tan∠VCH=

VH

CH

=

h2+1

，
∴0＜tanα＜tanβ＜tanγ．∴α＜β＜γ＜

π

2

．
過點(diǎn)D作DE⊥VA于E，連接ED，由于△VBA≌△VDA，∴ED⊥VA，∠BED為相鄰兩側(cè)面所成的二面角θ．
S_△VAB=

1

2

VA×BE=

1

2

×BC×VH，即

1

2

h2+2

×BE=

1

2

×2×

h2+1

，BE²=

4(h2+1)

h2+2

，DE²+BE²=2DE²＜BD²，∴∠BED為鈍角，
∴α＜β＜γ＜θ．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正四棱錐的性質(zhì)，空間角的定義及度量．三角函數(shù)的單調(diào)性．考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．