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13.已知數(shù)列{an}滿足:1a1+1a2+…+1an=n22(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn=(-1)n4anan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)把n=1代入已知的式子求出a1,當(dāng)n≥2時把n換成n-1列出式子,再作差化簡后求出an
(Ⅱ)由(Ⅰ)和條件化簡得bn,對n進(jìn)行分類討論后,利用并項求和法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn

解答 解:(Ⅰ)∵1a1+1a2++1an=n22nN,①
∴當(dāng)n=1時,1a1=12,解得a1=2.
當(dāng)n≥2時,1a1+1a2++1an1=n122nN,②
①-②得,1an=n22n122=2n12,
解得an=22n1,當(dāng)n=1時也成立,
an=22n1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,bn=1n4anan=1n4an1=1n4n3,
當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn=-1+5-9+13-17+…+(4n-3)
=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+4n-3]
=4×n2=2n,
當(dāng)n為奇數(shù)時,n+1為偶數(shù),
Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.
綜上,{T_n}=\left\{\begin{array}{l}2n,n為偶數(shù)\\-2n+1,n為奇數(shù).\end{array}\right.

點評 本題考查數(shù)列的通項公式,以及數(shù)列求和方法:并項求和法,考查分類討論思想,屬于中檔題.

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