Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），求：
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求x的值；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|，x∈[0，

π

2

]，最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)λ．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）直接由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得x的值；
（2）由向量的坐標(biāo)求出

a

•

b

，|

a

+

b

|，代入f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|后整理，換元后分段求二次函數(shù)的最值，由最小值為-

3

2

求實(shí)數(shù)λ的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
由

a

∥

b

，得：-cos

3

2

xsin

x

2

-sin

3

2

xcos

x

2

=0，
即sin(

x

2

+

3

2

x)=sin2x=0．
∴2x=kπ，x=

kπ

2

，k∈Z；
（2）∵

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

(cos 3 2 x+cos x 2 )2+(sin 3 2 x-sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2cosx，x∈[0，

π

2

]．
∴f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx，x∈[0，

π

2

]．
=2cos²x-4λcosx-1．
令t=cosx，則t∈[0，1]．
∴y=2t²-4λt-1，t∈[0，1]．
對(duì)稱軸為t=λ．
若λ≤0，即λ≤0，則y_min=-1不合題意；
若λ≥1，則ymin=1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，舍去．
若0＜λ＜1，則ymin=-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

．
綜上，實(shí)數(shù)λ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了換元法及二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．