Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₅=2a₃，且${a_4}，\frac{5}{4}，2{a_7}$成等差數(shù)列，則a₁•a₂•…•a_n的值為2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．

Answer 1

分析 等比數(shù)列{a_n}的公比設(shè)為q，運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì)，解方程可得公比q，可得等比數(shù)列的通項公式，再由指數(shù)的運算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：等比數(shù)列{a_n}的公比設(shè)為q，
a₂a₅=2a₃，且${a_4}，\frac{5}{4}，2{a_7}$成等差數(shù)列，
可得a₁²q⁵=2a₁q²，化為a₁q³=2，
即a₄=2，
又a₄+2a₇=$\frac{5}{2}$，
解得a₇=$\frac{1}{4}$，
即有q³=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{8}$，可得q=$\frac{1}{2}$，
則a_n=a₄q^n-4=2•（$\frac{1}{2}$）^n-4=2^5-n，
則a₁•a₂•…•a_n=2⁴•2³…2^5-n
=2^4+3+…+5-n=2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．
故答案為：2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì)，考查方程思想和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．