Question

若n為大于1的自然數(shù)，求證：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=2時(shí)，

1

2+1

+

1

4

＞

13

24

，不等式成立，假定n=k時(shí)，不等式成立，再推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

解答： 證明：當(dāng)n=2時(shí)，

1

2+1

+

1

4

＞

13

24

，不等式成立
假定n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

13

24

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

13

24

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

13

24

，
其中-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

2k+1

-

1

2k+2

＞0
由數(shù)學(xué)歸納法得命題成立．
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．