Question

設(shè)上的兩點，已知向量，,若且橢圓的離心率短軸長為2，為 坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點（0，c），（c為半焦距），求直線的斜率的值；

（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）三角形的面積是定值．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可求得，進而根據(jù)離心率求得和，則橢圓的方程可得．

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，表示出和，利用建立方程求得．

（3）先看當直線的斜率不存在時，可推斷出，，根據(jù)求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得和求得三角形的面積；再看當直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出和，利用求得，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案．

 

試題解析：（Ⅰ）

橢圓的方程為

（Ⅱ）由題意，設(shè)的方程為

所以

所以，

由已知得：

（Ⅲ）（1）當直線AB斜率不存在時，即,由

又 在橢圓上，所以

．

所以三角形的面積為定值．

（2）當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值．

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．