Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1（x∈R）．
（1）把f（x）化簡(jiǎn)成f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的形式
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1（x∈R）．
（1）化簡(jiǎn)f（x）=2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x）+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
得kx-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．