Question

14．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右頂點(diǎn)為A，離心率為e，且橢圓E過點(diǎn)$B（2e，\frac{2}）$，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交曲線E于F，H兩點(diǎn)，且直線OH交橢圓E于另一點(diǎn)G，問△FHG面積是否存在最大值？若有，請(qǐng)求出；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：x_D=c=2e，e=$\frac{c}{a}$，解得：a=2，將點(diǎn)B$（c，\frac{2}）$，代入橢圓方程，即可求得b和c的值，求得橢圓方程；
（2）由題意可知：S_△FHG=丨y₁-y₂丨，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知求得y₁+y₂，y₁•y₂，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得丨y₁-y₂丨根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得△FHG面積最大值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦點(diǎn)為D，連接BD，則BD⊥AD，
∴x_D=c=2e，
由e=$\frac{c}{a}$，解得a=2，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（c，\frac{2}）$，將其代入橢圓方程，整理得$\frac{c^2}{2^2}+\frac{{{{（\frac{2}）}^2}}}{b^2}=1$，
解得：$c=\sqrt{3}，b=1$．
故橢圓E方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)F，H兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，由點(diǎn)O為線段HG的中點(diǎn)得：S_△FHG=2S_△OFH=2×$\frac{1}{2}$×丨OC丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，則點(diǎn)F與G重合（矛盾），
于是，設(shè)直線 l的方程：x=my-1，m∈R
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消元：（m²+4）y²-2my-3=0
∴由韋達(dá)定理可知：$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{{m^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$，
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{4\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+3+1}}=\frac{4}{{\sqrt{{m^2}+3}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+3}}}}}$
令t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$∈[$\sqrt{3}$，+∞），函數(shù)U（t）=$\frac{1}{t}$+t為增函數(shù)，
${U_{min}}（t）=U（\sqrt{3}）=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
${|{{y_1}-{y_2}}|_{max}}=\sqrt{3}，{S_{△FGH}}_{max}=\sqrt{3}$（ 此時(shí)m=0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式的綜合運(yùn)用，考查基本不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．