Question

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數(shù)，f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，e⁴）
• D、（e⁴，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令h(x)=

f(x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得h（0）=1，即可得出．

解答： 解：設(shè)h(x)=

f(x)

ex

則h′(x)=

ex(f′(x)-f(x))

(ex)2

，
∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．
所以函數(shù)h（x）是R上的減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（-x+2）=f（x+2），
∴函數(shù)關(guān)于x=2對稱，
∴f（0）=f（4）=1，
原不等式等價為h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等價h（x）＜1?h（x）＜h（0），

f(x)

ex

＜1=

f(0)

e0

．∵h(yuǎn)（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x＞0．
故選：B．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性的應(yīng)用．