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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.

（1）若為的中點，求證：面；

（2）若二面角為，設，試確定的值.

【答案】(1)證明見解析 （2）

【解析】

（1）連接，交于，連接．證明．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．
（2）以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系．求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角為，求解的值，得到答案.

（1）證明：連接，交于，連接．
∵且，

四邊形為平行四邊形，且為中點，
又∵點是棱的中點，所以 ．
∵平面，平面.
∴面.

(2) ，為的中點，∴．
∵平面平面，且平面∩平面，
∴ 平面．
∵，

為的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴．
∵,∴即

以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系.

則

則平面的法向量為

設

設平面的法向量為

則 即

可取

由二面角為

所以

化簡得：，解得：或（舍）

所以，則

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過焦點的斜率存在的直線與拋物線交于，，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知與拋物線交于點（異于原點），過點作斜率小于的直線交拋物線于，兩點（點在，之間），過點作軸的平行線，交于，交于B，與的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C過點M（1，），兩個焦點為A（﹣1，0），B（1，0），O為坐標原點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過點A（﹣1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△BPQ面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數.

（1）若函數在區(qū)間（為自然對數的底數）上有唯一的零點，求實數的取值范圍；

（2）若在（為自然對數的底數）上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2022年第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行，為了宣傳冬奧會，某大學從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看第23屆平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統(tǒng)計數據如下：

收看

沒收看

男生

60

20

女生

20

20

（1）根據上表數據，能否有的把握認為，收看開幕式與性別有關？

（2）現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動，若從這8人中隨機選取2人到較廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率.

附：，其中.

P（）

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠預購軟件服務，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；

方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.

（1）設日收費為元，每天軟件服務的次數為，試寫出兩種方案中與的函數關系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務的次數進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據該統(tǒng)計數據，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，與交于點，底面，為的中點，.

（1）求證： 平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正弦值.

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