Question

17．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中{a_n}是首項為3，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，a_n=log₂b_n，則{b_n}的前n項和S_n為（　�。�

• A． 8（2ⁿ-1）
• B． 4（3ⁿ-1）
• C． $\frac{8}{3}（{4^n}-1）$
• D． $\frac{4}{3}（{3^n}-1）$

Answer 1

分析 由題意可知a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，根據(jù)等差數(shù)列性質可知：$\left\{\begin{array}{l}{2d＞3}\\{2d＜5}\end{array}\right.$，由d為為整數(shù)，即可求得d=2，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求得a_n，根據(jù)對數(shù)的運算性質求得b_n=2²ⁿ⁺¹=8×4^n-1，可知數(shù)列{b_n}是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式即可求得{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：由題意可知：數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=a₁+（n-1）d，
由題意可知：a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，
即$\left\{\begin{array}{l}{2d＞3}\\{2d＜5}\end{array}\right.$，由d為為整數(shù)，
解得：d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
由a_n=log₂b_n，即2n+1=log₂b_n，
∴b_n=2²ⁿ⁺¹=8×4^n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴{b_n}的前n項和S_n，S_n=$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{8}{3}$（4ⁿ-1），
故答案選：C．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查不等式組的解法，對數(shù)的運算的綜合運用，考查對公式的掌握程度，屬于中檔題．