Question

已知函數(shù)，，其中．

(1)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；

(2)若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：(1)先求導(dǎo)，根據(jù)題意 (2)可將問題轉(zhuǎn)化為≥，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0得單調(diào)性，用單調(diào)性求最值。在解導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的過程中注意對的討論。

試題解析：(1)解法1：∵，其定義域為，

∴． ∵是函數(shù)的極值點，∴，即．

∵，∴． 經(jīng)檢驗當時，是函數(shù)的極值點，∴．、

解法2：∵，其定義域為，

∴． 令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當變化時，，的變化情況如下表：

依題意，，即，∵，∴．

(2)對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．當［1，］時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．

∵，且，．

①當且［1，］時，，

∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，

∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．

②當1≤≤時，

若1≤＜，則，若＜≤，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③當且［1，］時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.由≥，得≥，

又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．

考點：用導(dǎo)數(shù)求極值和最值。