Question

【題目】日前，揚州下達了2018年城市建設(shè)和環(huán)境提升重點工程項目計劃，其中將對一塊以O為圓心，R（R為常數(shù)，單位：米）為半徑的半圓形荒地進行治理改造，如圖所示，△OBD區(qū)域用于兒童樂園出租，弓形BCD區(qū)域（陰影部分）種植草坪，其余區(qū)域用于種植觀賞植物．已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元，兒童樂園出租的利潤是每平方米95元．

（1）設(shè)∠BOD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形BCD的面積S弓=f（θ）；

（2）如果市規(guī)劃局邀請你規(guī)劃這塊土地，如何設(shè)計∠BOD的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤取最大值R2（50π）.

【解析】分析：根據(jù)弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積，即可求解弓形的面積；

（2）由題意列出函數(shù)的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最大值．

詳解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，

S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）

（2）設(shè)總利潤為y元，兒童樂園利潤為y1元，種植草坪成本為y2元，種植觀賞植物成本為y3元；

則y1=R2sinθ95，y2=R2（θ﹣sinθ）5，y3=R2（π﹣θ）55，

∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），

設(shè)g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．

∴g′（θ）=100cosθ+50

∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上為減函數(shù)；

g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上為增函數(shù)；

當(dāng)θ=時，g（θ）取到最大值，此時總利潤最大，

此時總利潤最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．

（求最值時，如不交代單調(diào)性或者列表，扣2分）

答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤取最大值R2（50﹣π）