Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=（-1）ⁿ×2a_n-2（n≥3，n∈N^*），其前n項和為S_n．
（1）求a_2n+1關于n的表達式；
（2）觀察S₁，S₂，S₃，S₄，…，S_n，數(shù)列{S_n}的前100項中相等的項有幾對？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項構成以1為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，
所有偶數(shù)項構成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．由此可得a_2n+1關于n的表達式；
（2）由（1）寫出數(shù)列{a_n}的前幾項，通過觀察可知，S₁，S₂，S₃中有一對相等的，以后每四項有一對，則答案可求．

解答： 解：（1）由a_n=（-1）ⁿ×2a_n-2（n≥3，n∈N^*），得

an

an-2

=(-1)n•2，
∴數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項構成以1為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，
所有偶數(shù)項構成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_2n+1=（-2）ⁿ；
（2）由（1）可知，數(shù)列{a_n}的項為：
1，2，-2，4，4，8，-8，16，16，32，-32，…
由上可知，S₁，S₂，S₃中有一對相等的，
以后每四項有一對，共25對．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了學生的歸納推理能力，是中檔題．