(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),
,
,其中
且
.
(I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
的最小值;
(II)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間及極值;
(III)若對(duì)任意的,函數(shù)
滿(mǎn)足
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(I);(II)單調(diào)增區(qū)間是
,
;單調(diào)減區(qū)間是
;
處取得極大值
,在
處取得極小值
.(III)
。
解析試題分析:(I),其中
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/30/7/1ch2x3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,又
,所以
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),其最小值為
. 2……………………4分
(II)當(dāng)時(shí),
,
.…5分
的變化如下表:
0 0
所以,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
,
;單調(diào)減區(qū)間是
.……7分
函數(shù)在
處取得極大值
,在
處取得極小值
.……8分
(III)由題意,.
不妨設(shè),則由
得
.
令,則函數(shù)
在
單調(diào)遞增.10分
在
恒成立.
即在
恒成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/c/a2ea22.png" style="vertical-align:middle;" />,因此,只需.
解得. 故所求實(shí)數(shù)
的取值范圍為
. …12分
考點(diǎn):基本不等式;求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則;利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。
點(diǎn)評(píng):構(gòu)造出函數(shù),把證明
轉(zhuǎn)化為證明
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分12分)
設(shè)點(diǎn)P在曲線上,從原點(diǎn)向A(2,4)移動(dòng),如果直線OP,曲線
及直線x=2所圍成的面積分別記為
、
。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)有最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題12分)已知曲線y=
(1)求曲線在x=2處的切線方程;(2)求曲線過(guò)點(diǎn)(2,4)的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(10分)設(shè)函數(shù).
⑴ 求的極值點(diǎn);
⑵ 若關(guān)于的方程
有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
⑶ 已知當(dāng)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分16分)
已知函數(shù),其中
.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求
的取值范圍;
(3)已知,如果存在
,使得函數(shù)
在
處取得最小值,試求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,函數(shù)
,
(其中均為常數(shù),且
),當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取得極小值.
均在函數(shù)
的圖像上(其中
是
的導(dǎo)函數(shù)).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù).
(Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖像在點(diǎn)
處的切線的傾斜角為
,問(wèn):
在什么范圍取值時(shí),對(duì)于任意的
,函數(shù)g(x)=x3 +x2
在區(qū)間
上總存在極值?
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)
,若在區(qū)間
上至少存在一個(gè)
,
使得成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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