已知函數(shù)的值域為A,定義在A上的函數(shù)f(x)=x-2-x2(x∈A).
(1)求集合A,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調性,并用單調性定義證明;
(3)解不等式f(3x+1)<f(5x+1).
【答案】分析:(1)由x2>0,0<<1,可求得函數(shù)的值域A,利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)設-1<x1<x2<0,作差后化積f(x1)-f(x2)=(-)(1+),判斷積的符號即可;
(3)利用(2)中所證的單調性與其定義域為A可列關于x的不等式組,解之即可.
解答:解:(1)∵x2>0,
∴0<<1,-1<<0,
即A={x|-1<x<0}.
∵函數(shù)f(x)=x-2-x2(x∈A),而A={x|-1<x<0},不關于原點對稱,
∴f(x)是非奇非偶函數(shù);
(2)證明:設-1<x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=--(-)=+(-
=(-)(1+).
∵-1<x1<x2<0,
,>0,
∴(-)(1+)<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-1,0)上是增函數(shù).
(3)∵f(3x+1)<f(5x+1),
解得:x∈∅.
點評:本題考查函數(shù)奇偶性與單調性的綜合,著重考查函數(shù)奇偶性與單調性的定義及其綜合應用,綜合性強,屬于難題.
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