Question

（2007•靜安區(qū)一模）設(shè)f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是實數(shù)集上的奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）（理） 當(dāng)f（x）是實數(shù)集上的奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）證明不是奇函數(shù)，可用特殊值法；如證明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；
（2）利用奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x），再用待定系數(shù)法求解；
（3）即證明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
（4）先將原函數(shù)式化成：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，將2^x看成整體，利用其范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；                       （4分）
（2）f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實數(shù)x成立．      （6分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

，所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

．           （10分）
（3）（理）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；                 （14分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

對任何實數(shù)c成立；              （16分）
所以對任何實數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．               （18分）
（4）（文） f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因為2^x＞0，（12分）
所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，（14分）
從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函數(shù)f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．        （18分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想；屬于基礎(chǔ)題．